이전시간(3. 속도와 속력) 에서 '시간', '공간'의 물리량을 이용하여 물체의 빠르기를 설명하는 속력과 속도를 아래와 같이 정의했었다.
1. 사건 구간 내에서 빠르기가 변할 때
아래의 경우를 살펴보자, 0초 0m에 있던 물체가 1초 뒤 오른쪽으로 20m 이동하였다면 위 물체의 속도는 20m/s로 구할 수 있을 것이다.
위의 운동을 0.5초 단위로 측정하고 위치를 나타내었다. 0.5초 시간동안의 변위를 이용하여 속도를 구해볼 수 있는데 결과는 아래와 같다.
0.5초 단위로 측정해 보았더니 물체가 점점 빨라지는 것 같다. 아래 그림은 0.25초 단위로 측정하였을 때의 변위와 속도를 나타낸 것이다.
점점 빨라지는 듯 하더니, 0.75초 ~ 1.0초 구간은 속도가 느려진 것을 알 수 있었다.
많은 일상에서 어떤 사건의 시간을 더 쪼깨어 관찰할 수 있고 물체의 빠르기가 변하는 것을 관찰할 수 있다. 다시 처음으로 돌아가서, 1초 간격으로 측정한 속도를 뭐라고 불러야 할까?
2. 평균속도
이 속도를 '평균 속도' 라고 한다. 감이 잘 안잡힐 수 있다. 평균속도를 잘 설명하는 일상적 예시는 (운전자 피를 거꾸로 솟게 만드는) 자동차 구간 단속이 있다.
구간단속은 단속구간을 '평균적으로' 제한 속도 (위 사진은 60km/h)로 운전하라는 뜻이다. 여기서 '평균' 이라는 말이 나온다. 평균이 뭘까? 먼저 대표값의 정의부터 알아야 하는데
대표값(Representative value)는 어떤 데이터를 대표하는 '단 하나의' 값이다. 평균은 대표값 중 하나이다. 예를 들어 각 10명씩 있는 A학급과 B학급의 과학점수 데이터가 있을 때 적절한 대표값은 '평균'이 될 것이다.
평균을 보면, 어떤 학급이 더 과학공부를 잘한다 라고 한 눈에 파악할 수 있다. 이처럼 대표값을 통해 데이터 집단의 특성을 한 눈에 볼 수 있는데 이러한 내용들은 <평균, 분산, 표준편차, 정규화, 표준화> 포스트에서 더 자세히 다루었으므로 궁금하다면 정독을 추천한다.
평균을 통해 데이터 집단간의 유사성을 확인해 볼 수 있는데 예를 들어 C학급이 아래와 점수가 같다면 C학급은 A학급과 평균이 같다.
이 개념을 속도에서 어떻게 사용하냐고? 위의 구간단속을 잘 생각해 보자. 2.2km 구간에서 '평균' 속도가 60km 이하면 교통규칙을 준수한 것이다. 그렇다면 속도의 평균은 어떻게 구할까? (놀랍게도) 평균속도는 속도를 구하는 공식과 같다.
차이점이라면 걸린 시간동안 위치의 변화 정도를 무시하고, 처음과 끝의 위치만 본다.
평균속도 구하는 방법이 정말 일반 속도 구하는 방법과 같은 것이 사실인가? 그렇다. 아래 사진은 구간 단속을 어떻게 정의하는지 보여준다.
구간단속 시작 시점과 끝 시점까지의 걸린 시간과 지점 거리로 구한다. 중간 과정에서 자동차가 빠르게 움직이던지, 느리게 움직이던지 상관하지 않고 위의 구간 평균 속도만 잘 지키면 범칙금이 부가되지 않는다.
쉽게말해, 평균 속도란 사건 내에서 빠르기가 변하는 경우 사건의 시간에 대한 속도를 구할 때 속도의 '평균'을 구하는 것이라 볼 수 있다. (A학급에 대한 과학 점수의 평균을 생각해 보자)
만약에 빠르기가 변하지 않는다면 구간내 속도와 평균 속도는 같다. (C학급의 과학 점수와 평균은 같다)
3. 순간속도
아래 그림을 다시 살펴보자.
위 운동을 잘 살펴볼 때, 빠르기가 자주 변하는 것을 알 수 있다. 만약 0.25s ~ 0.5s 구간에서 빠르기가 16m/s로 일정하다고 우리는 자신있게 말할 수 있을까? 빠르기가 변한다면 위 속도는 '평균' 속도가 된다고 했었다.
그렇다면 0.25s 순간(시각)에서의 속도를 알 수 없을까? 어떤 시각에서의 속도가 필요한 예시는 위의 구간단속에서도 나타나는데 구간단속 진입 순간에서의 속도와 종료 순간에서의 속도도 단속 대상이다.
'순간' 이라는 것은 무엇을 뜻할까?
위 사진은 다트에 의해 물풍선이 터지는 '순간'을 찍은 사진이다. 일상적으로 생각해 보면 위의 사진을 촬영하기 매우 어렵다. 물풍선이 터지기 시작하여 종료되는 사건이 너무 짧기 때문이다.
물리학에서의 순간과 일상에서의 순간의 의미는 거의 비슷하다. 사건의 시작과 종료 까지의 시간이 너무 짧으면 순간으로 볼 수 있다. 이를 수학적으로 정의하면 극한의 개념이 포함된다.
순간의 정의 = 나중시각 - 처음시각 → 0에 매우 가깝다(수렴한다)
이를 수학적으로 표현하면 아래와 같다. ≡ 뜻은 '정의하다' 라고 생각해도 좋다. final은 나중이라는 뜻이고 inital은 처음이라는 뜻으로 많이 사용되고 약어로 f, i 이렇게 사용된다.
위의 극한 개념을 이용해 순간 속도를 정의하면 아래와 같다.
정리하자면 순간속도란, 사건의 시간이 0에 가깝게 정의하였을 때의 속도를 의미한다.
그렇다면 구간 진입 시점과 종료 시점에서의 순간속도는 어떻게 측정할까? 그것은 아래와 같이 루프 검지기를 통과하는 시점의 평균 속도로 측정한다.
순간이라는 것은 결국 어떤 사건의 시간 간격이 매우 짧은 것이라고 앞서 이야기했다. 자동차의 속도는 매우 빠르므로 위의 사진처럼 센서1과 센서2를 지나가는 사건의 시간은 매우 짧다. (과속 카메라 앞에서 정지했을 때 바닥에 검은색 루프 감지기를 볼 수 있으면 한번 봐 보자.) 따라서 '순간' 이라고 볼 수 있는 것이다.
3. 그래프로 살펴보기
시간 - 위치 그래프로 보면 더욱 이해하기 쉽다.
시간 - 위치 그래프에서 그래프의 기울기는 물체의 속도가 되는데 (기울기 정의 = y변화량 / x변화량 = s / t = 속도) 평균속도는 두 점의 기울기가 되고 순간속력은 한 점에서의 기울기가 된다.
예를 들어 보자. 어떤 물체가 시각 t에서의 위치 s는 아래와 같이 정의된다고 가정하자.
이 물체를 0.1초 단위로 관찰하였을 때 표와 그래프는 아래와 같다.
 |
 |
0.1초부터 0.5초까지의 물체의 속도는 평균 속도가 되고 이를 구해보면 아래와 같다.
0.3초에서의 순간속력을 구하고 싶다면 나중 시각을 0.30000001로 정의해 보는 것도 나쁘지 않다. (순간 속도는 컴퓨터의 도움이 필요하다.) 그렇다면 위치는 4.9*(0.30000001)^2이 될 것이다. 식으로 표현해 보자.
파이썬으로 계산해 본 결과 약 2.94m/s 가 나온다.
(사실 4.9t^2 순간 기울기는, 도함수(기울기 함수)를 구하면 되고, 기울기 함수는 9.8t가 된다. 0.3s에서의 순간 속도는 0.3초에서의 기울기를 구하는 것과 같으므로 9.8*0.3 = 2.94가 나온다.)
정리하자면
평균속도란, 사건에 대한 시간 간격 내에서 물체의 빠르기가 변했을 때 물체의 속도를 의미하고
순간속도란, 사건에 대한 시간 간격을 0에 가깝게 하였을 때의 물체의 속도를 의미한다.
'2015교육과정 물리학I 개념잡기' 카테고리의 다른 글
| 6. 등속운동 그래프와 등가속도 시간-변위 그래프 (0) | 2022.05.24 |
|---|---|
| 5. 가속도, 등가속도 운동 (0) | 2022.05.12 |
| 3. 속도와 속력 (0) | 2022.05.04 |
| 2. 시각, 위치 → 시간, 변위 (0) | 2022.04.30 |
| 1. 물리학I 개념 개론(꼭 읽고 시작하자) (0) | 2022.04.28 |
